近日，南方科技大学电子与电气工程系高振课题组在投影表示下的拓扑分类这一研究领域取得重要进展，相关研究成果以“Spinful Topological Phases in Acoustic Crystals with Projective PT Symmetry”为题发表于国际物理学顶级学术期刊《物理评论快报》[Phys. Rev. Lett. 130, 026101 (2023)]。
在对物质进行拓扑分类的过程中，一个重要的判断依据是该系统有无自旋，因为有自旋系统与无自旋系统具有完全不同的对称性并对应着截然不同的拓扑相。然而，最近的一篇理论工作[Phys. Rev. Lett. 126, 196402 (2021)]发现：当系统具有规范对称性时，系统原有的对称性可以被投影表示，因此可实现系统在“无自旋”和“有自旋”两种拓扑相之间的转换。基于此理论，该团队设计了一种时空反演对称性可以被投影表示的声学晶体，首次在“无自旋”的声学系统中实现了自旋拓扑相。具体地，该团队实现了在整个布里渊区都具有双重简并的能带结构，同时实现了一个绕数为偶数（2ℤ）的一维拓扑带隙，从而保证了两对二重简并的拓扑边界态的存在。
南方科技大学电子系高振课题组首次在无自旋的声学晶体中利用投影表示实现了自旋拓扑相。该研究团队通过引入负耦合在声学晶体中设计等效的Z2规范场，使得时空反演对称性可以被投影表示，从而在原本无自旋的拓扑声学晶体中观察到 Kramers 双重简并能带结构和成对出现的Kramers拓扑边界等自旋系统所独有的现象。双重简并的拓扑态不仅可以作为具有多个传输通道的声学信息传输的理想载体，而且可以增加系统态密度，从而在声子激光和声波发射等方面具有广泛的应用前景。虽然我们选择声学晶体作为证明时空反演对称性投影表示的平台，但该工作所用方法可以直接拓展到如光学、力学和电路等其他无自旋系统中。这种研究投影对称的方法揭示了拓扑相分类的新视角，并从实验上打开了具有规范自由度的拓扑物理学的大门。
图1 利用投影表示下的时空反演对称性来实现有无自旋系统之间的转换
时空反演对称性是将时间反演对称性（T）与空间反演对称性（P）结合在一起作为系统拓扑分类的标准。图1展示了利用投影表示下的时空反演对称性来实现有无自旋系统之间的转换。其中图1(a)展示了满足(PT)2=-1的自旋系统的能带图，可以看到在对称性的保护下系统具有在整个布里渊区都双重简并的能带。而图1(b)展示了满足(PT)2=1的无自旋系统具有非简并的实数能带。当系统具有规范对称（G）时，其空间反演算符（P）可以被投影表示为P'=GP。对于有自旋的系统，一个合适的G可以让一个有自旋的系统满足（P'T）2=1 [图1(c)]，或者令一个无自旋的系统满足（P'T）2=-1 [图1(d)]。因此，投影表示的时空反演对称性（P'T）可以实现惊人的自旋拓扑相与无旋拓扑相之间的相互转换，而这种转换伴随着系统基本对称性的转变。
图2 实验验证无自旋声学系统中的Kramers双重简并能带
图2 (a) 展示了3D打印技术加工的绕数为ν=2的一维声学拓扑绝缘体样品图。样品单胞结构的示意图如图2 (b) 所示，其中红色连接管代表两个声学谐振腔之间为负耦合，蓝色连接管代表两个声学谐振腔为正耦合。通过正、负耦合的引入，该团队在声学晶体中设计出等效的Z2规范场，进而实现系统空间反演对称性在规范场下的投影表示。图2 (c) 和图2 (d) 分别为系统紧束缚模型的结构示意图以及规范变换的过程示意图。可以看到规范变换只改变z方向的耦合系数的符号，其他方向的耦合保持不变。图2 (e) 与图2 (f) 分别为仿真计算的声学拓扑绝缘体的能带相图以及其带隙和拓扑不变量随着几何参数的演化图。图2 (g)至图2 (i)分别展示了不同△r对应的声学晶体的仿真计算（线图）与测量（颜色图）的能带。可以看到能带经历了从打开到关闭再到重新打开的过程，而且伴随着拓扑相变，声学晶体的绕数从ν=-2演化到ν=2。仿真计算与实验测量结果直接证明了在△r演化过程中声学晶体始终满足（P'T）2=-1 ，因此始终具有在整个布里渊区都双重简并的能带。
图3 声学晶体中成对出现的Kramers拓扑边界态的实验观测
对于如图2（a）所示的△r≠0的声学晶体，经过第一性原理的计算发现其具有非零的偶数（2ℤ）绕数。根据“体—边对应”关系，可以预测这些声学拓扑绝缘体具有成对出现的拓扑边界态。图3 (a)为一个具有有限周期单元（15个）且△r=2.2 ㎜的拓扑声学晶体的数值仿真能带，在体带中可以清晰的看到4个拓扑边界态的存在。通过声场测量，图3 (c) 给出的是图2（a）所示的一维声学拓扑绝缘体的体态和表面态的实验平均能量谱，可以看到在8.3-到8.5 kHz带隙内，体区域对应的值非常小，而边界态区域在此范围内却达到峰值，意味着拓扑边界态的存在。图3 (b) 、图3（d）给出的是对应频率下拓扑边界态的仿真计算结果和全场扫描的实验测量结果。可以看到声压分布只局域在样品的边界处，直观的反映出了拓扑边界态的局域特性。同时，实验结果还显示，在相位对称性不同的激发源激发下，位于同侧边界的边界的相位分布具有不同的对称性，因此实验测量的4个拓扑边界态都是正交的。仿真计算与实验测量的边界态的场分布直接证明了图2（a）所示的一维声学拓扑绝缘体具有成对出现的Kramers拓扑边界态。
图4 两个具有自旋拓扑相以及相反拓扑不变量（绕数）的拓扑声学绝缘体构成的界面态
图4 (a) 展示了3D打印技术加工的由两个具有相反的拓扑绕数的一维声学晶体构成的界面。其中左侧8个单元对应的绕数为ν=-2，右侧的8个单元对应的绕数为ν=+2，两侧结构的界面用一个红色的平面标出。基于拓扑系统的“体—边对应”关系，该系统具有的界面态数量与界面两侧系统的绕数差相同。图4 (b)中展示了该声学晶体的本征频率的仿真计算结果，可以在体能带（灰色方块）中清晰的看到4个拓扑边界态（彩色星星）。更直观地，图4 (c)给出了7.4到9.2 kHz范围内界面态区域（红色）以及体区域（灰色）的平均能量密度实验测量结果，可以看到在8.3-到8.5 kHz带隙内，体区域的值非常小，界面区域在此范围内具有峰值，意味着拓扑界面态的存在。进一步通过仿真计算与全场扫描测量，图4 (d)与图4 (e)分别给出了拓扑界面态所在频率的本征场分布以及测量的声压场分布，实验结果和理论结果都显示了声压分布局域在界面处无法向体内传输。仿真计算与实验测量的界面态场分布直接证明了图4（a）所示的一维声学拓扑绝缘体具有4个拓扑界面态。
南方科技大学研究助理教授孟岩、南方科技大学2018级本科生林舒昕（已赴南洋理工大学攻读博士学位）、江苏大学硕士生施斌杰为该论文的共同第一作者，南方科技大学高振副教授、浙江大学杨怡豪研究员、江苏大学孙宏祥教授为论文的共同通讯作者，南方科技大学为论文第一完成单位。该研究工作得到了国家自然科学基金委和南方科技大学等单位的大力支持。
论文链接:https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.130.026101
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